Question

（2012•自貢一模）要研究可導函數f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某點x₀處的瞬時變化率，有兩種方案可供選擇：①直接求導，得到f′（x），再把橫坐標x₀代入導函數f′（x）的表達式；②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二項式展開，逐個求導，再把橫坐標x₀代入導函數f′（x）的表達式．綜合①②，可得到某些恒等式．利用上述思想方法，可得恒等式：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=

n•2^n-1

 n∈N^*．

Answer 1

分析：先設t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+（r+1）C_n^r+…+（n）C_nⁿ再由C_n^m=C_n^n-m這個性質，將t轉化為t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_nⁿ②，兩式相加求解．

解答：解：可導函數f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某點x=1處的瞬時變化率，有兩種方案可供選擇：
①直接求導，得到f′（x），再把橫坐標1代入導函數f′（x）的表達式；即：
f′（1）=n（1+1）^n-1
②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二項式展開，逐個求導，再把橫坐標1代入導函數f′（x）的表達式．
即：f′（1）=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ
綜合①②，可得到恒等式C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=n•2^n-1
故答案為：n•2^n-1

點評：本題主要考查二項式系數及利用組合數的關系應用倒序相加法求代數式的值．