(本題滿分15分)
已知實數滿足
且
,設函數
(Ⅰ) 當時,求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數 (
)的極小值點與f (x)的極小值點相同.
求證:g(x)的極大值小于等于.
(Ⅰ) 解: 當a=2時,f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
x |
(- |
1 |
(1,2) |
2 |
(2,+ |
f ′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f (x) |
單調遞增 |
極大值 |
單調遞減 |
極小值 |
單調遞增 |
所以,f (x)極小值為f (2)=. …………………………………5分
(Ⅱ) 解:f ′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g ′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=
.
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
(1) 當 1<a≤2時,
f (x)的極小值點x=a,則g(x)的極小值點也為x=a,
所以p(a)=0,
即3a2+(2b+3)a-1=0,
即b=,
此時g(x)極大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b
=-3+ =
.
由于1<a≤2,
故 ≤
2-
-
=
.………………………………10分
(2) 當0<a<1時,
f (x)的極小值點x=1,則g(x)的極小值點為x=1,
由于p(x)=0有一正一負兩實根,不妨設x2<0<x1,
所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,
故b>-.
此時g(x)的極大值點x=x1,
有 g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1
<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1 (x12-2x1<0)
<-(x12-2x1)-4x1+1
=-x12+x1+1
=-(x1-
)2+1+
(0<x1<1)
≤
<.
綜上所述,g(x)的極大值小于等于. ……………………15分
【解析】略
科目:高中數學 來源:2010-2011年江蘇省如皋市五校高二下學期期中考試理科數學 題型:解答題
((本題滿分15分)
某有獎銷售將商品的售價提高120元后允許顧客有3次抽獎的機會,每次抽獎的方法是在已經設置并打開了程序的電腦上按“Enter”鍵,電腦將隨機產生一個 1~6的整數數作為號碼,若該號碼是3的倍數則顧客獲獎,每次中獎的獎金為100元,運用所學的知識說明這樣的活動對商家是否有利。
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年浙江省招生適應性考試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分15分)設函數.
(Ⅰ)若函數在
上單調遞增,在
上單調遞減,求實數
的最大值;
(Ⅱ)若對任意的
,
都成立,求實數
的取值范圍.
注:為自然對數的底數.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年浙江省溫州市十校聯合體高三上學期期初摸底文科數學 題型:解答題
(本題滿分15分)已知直線與曲線
相切
1)求b的值;
2)若方程在
上恰有兩個不等的實數根
,求
①m的取值范圍;
②比較的大小
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年浙江省溫州市十校聯合體高三上學期期中考試文科數學 題型:解答題
(本題滿分15分)已知拋物線:
(
),焦點為
,直線
交拋物線
于
、
兩點,
是線段
的中點,
過作
軸的垂線交拋物線
于點
,
(1)若拋物線上有一點
到焦點
的距離為
,求此時
的值;
(2)是否存在實數,使
是以
為直角頂點的直角三角形?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由。
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年浙江省六校高三第一次聯考文科數學 題型:解答題
(本題滿分15分)
已知函數
(1)求的單調區間;
(2)設,若
在
上不單調且僅在
處取得最大值,求
的取值范圍.
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