Question

已知函數f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）是否存在實數m，使不等式

1

x+1

ln2＞mln（x+1）在-1＜x＜0時恒成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）已知正整數列{cn}中，(Cn)(n+1)2=e

1

f(n)

(n∈N*)，求數列{cn}中的最大項．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），根據導數和函數的單調性的關系，求得函數的單調區間．
（Ⅱ）恒成立的問題，分離參數，只需m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時恒成立．求出

ln2

(x+1)ln(x+1)

最大值即可．
（Ⅲ）先化簡得到(Cn)n+1=n+1，然后構造函數，結合導數判斷該函數在[2，+∞）內的單調性，進而可知{c_n}的單調性，即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）根據函數解析式得，

x+1＞0 x+1≠0

解得x＞-1且x≠0．
∴函數f（x）的定義域是{x|x∈R，x＞-1且x≠0}．
∵f（x）=

1

(x+1)ln(x+1)

．
∴f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln2(x+1)

，
由f'（x）＞0得ln（x+1）+1＜0．∴-1＜x＜e^-1-1．
∴函數f（x）的增區間為（-1，e^-1-1）．
由f'（x）＜0得ln（x+1）+1＞0．∴x＞e^-1-1．
∴函數f（x）的減區間為（e^-1-1，+∞）．
（Ⅱ）∵e^-1-1＜x＜0，∴e^-1＜x+1＜1．
∴-1＜ln（x+1）＜0．∴ln（x+1）+1＞0
當e^-1-1＜x＜0時，f′（x）=-

ln(x+1)+1

(x+1)2ln2(x+1)

＜0，
∴函數f（x）在區間（e^-1-1，0）上為減函數，
由（1）可知函數f（x）在區間（-1，e^-1-1）上為增函數．
當x=e^-1-1時，f（x）取得最大值．∴[f（x）]_最大=f（e^-1-1）=-e．
∵

1

x+1

ln2＞mln（x+1）在-1＜x＜0時恒成立．
∴m＞

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時恒成立．
∵

ln2

(x+1)ln(x+1)

在-1＜x＜0時的最大值等于-eln2．
∴m＞-eln2．
∴當m＞-eln2時，不等式

1

x+1

ln2＞mln（x+1）在-1＜x＜0時恒成立．
（Ⅲ）由已知(Cn)(n+1)2=e

1

f(n)

=e^{（n+1）ln（n+1）}=（e^ln（n+1））ⁿ⁺¹=（n+1）ⁿ⁺¹，
∴(Cn)n+1=n+1，
即lnC_n=

ln(n+1)

n+1

，
令g（x）=

ln(x+1)

x+1

，
∴g′（x）=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，
當x≥2時，ln（x+1）＞1，即f′（x）＜0，
∴函數g（x）在[2，+∞）為單調減函數，
由lnC_n=

ln(n+1)

n+1

，
∴n≥2 時，{lnc_n}是遞減數列．即{c_n}是遞減數列．
又c₁²=2，∴c₁=

2

，
c₂³=3，∴c₂=

3	3

，
∵c₁＜c₂，
∴數列{c_n}中的最大項為c₂=

3	3

，

點評：本小題主要考查函數與導數等知識，利用函數的單調性判斷相應數列的單調性及利用單調性判斷數列取得的最大項．考查分類討論，化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．屬于難題