Question

命題P：函數f（x）=

x2-2ax+a

的定義域為R，命題Q：不等式

x-a

x-1

＜0的解集為空集．若命題P是真命題而命題Q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由函數f（x）=

x2-2ax+a

的定義域為R，表示x²-2ax+a≥0恒成立，根據二次函數恒成立的充要條件可得命題P是真命題時，實數a的取值范圍；不等式

x-a

x-1

＜0的解集在a=1時為空集，進而我們可以求出命題Q是假命題時，實數a的取值范圍；進而得到答案．

解答：解：命題P：函數f（x）=

x2-2ax+a

的定義域為R，為真命題時
x²-2ax+a≥0恒成立
即△=4a²-4a≤0
解得0≤a≤1
命題Q：不等式

x-a

x-1

＜0的解集為空集．為真命題時
a=1
又∵命題P是真命題而命題Q是假命題，

0≤a≤1 a≠1

∴實數a的取值范圍0≤a＜1

點評：本題考查的知識點是復合命題的真假，函數的定義域及其求法，分式不等式的解法，其中求出命題P與命題Q為真命題時，實數a的取值范圍是解答本題的關鍵．