Question

沿著正四面體O—ABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2和3的三個力f₁、f₂、f₃.試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值.

Answer 1

解:如圖所示,用a、b、c分別代表棱、、上的三個單位向量,則f₁=a,f₂=2b,f₃=3c,

則f=f₁+f₂+f₃=a+2b+3c.

∴｜f｜²=(a+2b+3c)·(a+2b+3c)

=｜a｜²+4｜b｜²+9｜c｜²+4a·b+6a·c+12b·c

=1+4+9+4｜a｜｜b｜cos〈a,b〉+6｜a｜｜c｜cos〈a,c〉+12｜b｜｜c｜cos〈b,c〉

=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°

=14+2+3+6=25.

∴｜f｜=5,即所求合力的大小為5.

且cos〈f,a〉=

同理,可得cos〈f,b〉=,

cos〈f,c〉=.