Question

沿著正四面體O—ABC的三條棱,,的方向有大小等于1、2和3的三個力f₁,f₂,f₃.試求此三個力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值.

Answer 1

解：如圖所示,用a,b,c分別代表棱,,上的三個單位向量,則f₁=a,f₂=2b,f₃=3c,

所以f=f₁+f₂+f₃=a+2b+3c,

∴|f|²=(a+2b+3c)²=|a|²+4|b|²+9|c|²+4a·b+6a·c+12b·c=1+4+9+4|a||b|·cos〈a,b〉+6|a||c|·cos〈a,c〉+12|b||c|·cos〈b,c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.

∴|f|=5,即所求合力的大小為5.

且cos〈f,a〉===，

同理可得cos〈f,b〉=,cos〈f,c〉=.