Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為平行四邊形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）若∠PCD=45°，求點D到平面PBC的距離h．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，

∴BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos60°=3，

∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD，

∵PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴PD⊥BD，又AD∩PD=D，

∴BD⊥平面PAD，

∵PA平面PAD，

∴BD⊥PA

（2）解：由（1）可知BC⊥BD，

∴S△BCD= = ，

∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2，

∴VP﹣BCD= = ．

∵PC= CD=2 ，PB= = ，BC=1，

∴BC2+PB2=PC2，∴PB⊥BC，

∴S△BCP= = ，

∴VD﹣BCP= = ，

又VP﹣BCD=VD﹣BCP，∴ = ，

解得h=

【解析】（1）利用勾股定理逆定理證明AD⊥BD，結合BD⊥PD得出BD⊥平面PAD，故而PA⊥BD；（2）根據VP﹣BCD=VD﹣BCP列方程解出h．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．