Question

已知函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)+cosωx（其中ω為大于0的常數），若函數f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，則ω的取值范圍是

(0，

2

3

]

．

Answer 1

分析：根據兩角和與差的正弦公式，可將函數f（x）的解析式化為f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的形式，進而根據ω為大于0的常數，函數f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，可得

π

2

ω+

π

6

≤

π

2

，解不等式可得ω的取值范圍．

解答：解：函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)+cosωx
=sinωx•cos

π

6

+cosωx•sin

π

6

+sinωx•cos

π

6

-cosωx•sin

π

6

+cosωx
=

3

sinωx+cosωx
=2sin（ωx+

π

6

）
由ω＞0且函數f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，
可得

π

2

ω+

π

6

≤

π

2

解得ω≤

2

3

故ω的取值范圍是(0，

2

3

]
故答案為：(0，

2

3

]

點評：本題考查的知識點是兩角和與差的正弦函數，熟練掌握兩角和與差的正弦公式，對解析式進行化簡是解答的關鍵．