Question

記號[f（x）]表示不大于f（x）的最大整數，已知f(x)=

ex

ex+1

-

1

2

，則函數[f（x）]+[f（-x）]的值域為（　　）

A．（-1，1）

B．{1，0，-1}

C．{0，-1}

D．{0}

Answer 1

分析：根據指數式e^x＞0，求得函數f(x)=

ex

ex+1

-

1

2

的值域為（-

1

2

，

1

2

）．并由此得到當x≥0時，f（x）∈[0，

1

2

)；當x＜0時，f（x）∈(-

1

2

，0)．同理當x＞0時，f（-x）∈(-

1

2

，0)；當x≤0時，f（x）∈[0，

1

2

)，再結合取整函數的定義，經過討論即可得到函數[f（x）]+[f（-x）]的值域．

解答：解：令y=

ex

ex+1

-

1

2

=（1-

1

ex+1

）-

1

2

=

1

2

-

1

ex+1

∵e^x＞0，得e^x+1＞1，∴

1

ex+1

∈（0，1），
因此函數f(x)=

ex

ex+1

-

1

2

的值域為（-

1

2

，

1

2

）．
當x≥0時，f（x）∈[0，

1

2

)；當x＜0時，f（x）∈(-

1

2

，0)
同理可得：當x＞0時，f（-x）∈(-

1

2

，0)；當x≤0時，f（x）∈[0，

1

2

)
∴當x＞0時，[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1；當x＜0時，[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1
而當x=0時，[f（x）]+[f（-x）]=0+0=0
因此，函數[f（x）]+[f（-x）]的值域為{0，-1}
故選C

點評：本題給出含有指數式的分式形式的函數，再結合取整函數的定義求另一函數的值域，著重考查了基本初等函數值域的求法和取整函數的概念等知識，屬于基礎題．