Question

如圖所示，拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩交點為A、B，點P在拋物線上從A向B運動.

（1）求使△PAB的面積最大的P點的坐標(a,b);

(2)證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分.

Answer 1

（1）P點的坐標為（-,）時，△PAB的面積最大（2）證明見解析

解析:

（1）  解方程組，得x₁=1,x₂=-4.

∴拋物線y=4-x²與直線y=3x的交點為

A（1，3），B（-4，-12），

∴P點的橫坐標a∈(-4,1).

點P（a,b)到直線y=3x的距離為d=,

∵P點在拋物線上，∴b=4-a²，

=·(4-3a-a²)′= (-2a-3)=0,

∴a=-，即當a=-時，d最大，

這時b=4-=,

∴P點的坐標為（-,）時，△PAB的面積最大.

（2）  設上述拋物線與直線所圍成圖形的面積為S,

位于x=-右側的面積為S₁.

S=（4-x²-3x)dx=,

S₁=（4-x²-3x)dx=,

∴S=2S₁,即直線x=-平分拋物線與線段AB圍成的圖形的面積.