Question

已知定點(diǎn)M（0，2），N（-2，0），直線l：kx-y-2k+2=0（k為常數(shù)）．若點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，則實(shí)數(shù)k的值是______；對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．

Answer 1

由點(diǎn)M（0，2），N（-2，0）到直線l：kx-y-2k+2=0的距離相等可得

|0-2-2k+2|

k2+1

=

|-2k -0-2k+2|

k2+1

，解得 k=1，或 k=-

1

3

．
直線l：kx-y-2k+2=0 即 y=k（x-2）+2．
設(shè)點(diǎn)P（m，k（m-2）+2），則

PM

=（-m，2k-km），

PN

=（-2-m，2k-km-2），
由

PM

•

PN

=-m（-2-m）+（2k-km）（2k-km-2）=（1+k²）m²+（2-4k²+2k）m+4k²-4k＞0恒成立，
且

MP

和 

PN

不共線．
故有判別式△＜0，且-m（2k-km-2）-（2k-km）（-2-m）≠0．
解得 k＜-

1

7

，或 k＞1，
故答案為 1或

1

3

； (-∞，-

1

7

)∪(1，+∞)．