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求證：雙曲線C1：x2－y2＝5與橢圓C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交點處的切線互相垂直．

答案：
解析：

證明：聯立得兩曲線在第一象限交點為(3，2)

C1：y＝

∴y′＝［(x2－5)］′＝·

∴k1＝y′|x＝3＝

C2：y＝∴y′＝·

∴k2＝y′|x＝3＝－

∵k1·k2＝－1

∴兩切線互相垂直


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上海）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1．
（1）過C1的左頂點引C1的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1-C2型點”
（1）在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；
（2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1-C2型點”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內的點都不是“C1-C2型點”

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，雙曲線C1：
x2
4
-
y2
b2
=1與橢圓C2：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的左、右頂點分別為A1、A2第一象限內的點P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點A，O為坐標原點．
（I）求證：
kAA1+kAA2
kPA1+kPA2
為定值（其中kAA1表示直線AA1的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA2與△OA2P不相似．
（III）設滿足{（x，y）|
x2
4
-
y2
m2
=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
x2
4
-
y2
3
＞1，x∈R，y∈R} 的正數m的最大值是b，求b的值．

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科目：高中數學 來源：2013年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（上海卷解析版） 題型：填空題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內一點，若存在過點P的直線與C1，C2都有公共點，則稱P為“C1﹣C2型點“

（1）在正確證明C1的左焦點是“C1﹣C2型點“時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；

（2）設直線y=kx與C2有公共點，求證|k|＞1，進而證明原點不是“C1﹣C2型點”；

（3）求證：圓x2+y2=內的點都不是“C1﹣C2型點”

 

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科目：高中數學 來源：2014屆山東省濟寧市高二10月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.

(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；

(2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ；

 

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