Question

如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），平行于OM的直線 l 在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A、B兩個不同點（A、B與M不重合）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當MA⊥MB時，求m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓方程為，
則，∴a²=8，b²=2
∴橢圓方程為…（6分）
（Ⅱ）依題意，…（7分）
可設直線l的方程為：y=，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
，
∵MA⊥MB，∴，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0
∴x₁x₂+（）（x₁+x₂）+m²-2m+5=0…①
由y=代入橢圓方程，消y并整理化簡得：x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜2…（10分）
由韋達定理得：x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4代入①得：（2m²-4）+（）×（-2m）+m²-2m+5=0…①
解得m=0或m=-…（12分）
∵點A，B異于M，∴m=-…（13分）
分析：（Ⅰ）設橢圓方程為，根據長軸長是短軸長的2倍且經過點M（2，1），建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）依題意，設直線l的方程代入橢圓方程，整理并利用韋達定理，結合MA⊥MB，即，從而可求m的值．
點評：本題考查橢圓的性質及直線和圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中等題．