Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，左頂點A（-2，0），離心率e=

1

2

，F為右焦點，過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點（不同于點A）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當|PQ|=

24

7

時，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）設出橢圓的標準方程根據題意可a，利用離心率求得c，則b可求得，橢圓的方程可得．
（II）設出直線PQ的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，設出P，Q的坐標，進而根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，則利用弦長公式可表示出|PQ|求得m，直線的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵左頂點A（-2，0），離心率e=

1

2

，∴a=2，e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）橢圓右焦點F（1，0）．
設直線PQ方程為x=my+1（m∈R），代入橢圓方程，消去x得（3m²+4）y²+6my-9=0．①
顯然，方程①的△＞0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

．
|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)( 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 )

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

．
∵|PQ|=

24

7

，
∴12×

m2+1

3m2+4

=

24

7

．
解得m=±1．
∴直線PQ方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生邏輯思維能力和統籌運算的能力，屬于中檔題．