Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a=

3

，b+c=3，求當(dāng)cosA+2cos

B+C

2

取得最大值時(shí)的邊b和c的長．

Answer 1

分析：由條件可得cosA+2cos

B+C

2

= -2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

，故當(dāng)sinA=

1

2

，即A=

π

3

時(shí)，取得最大值．再由余弦定理以及cosA=

1

2

求得bc=2，再根據(jù)b+c=3，求得b、c的值．

解答：解：由A+B+C=π，可得

B+C

2

=

π

2

-

A

2

，…（2分）
∴cos

B+C

2

=sin

A

2

，…（3分）
∴cosA+2cos

B+C

2

=1-2sin2

A

2

+2sin

A

2

=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

．…（5分）
當(dāng) sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

時(shí)，cosA+2cos

B+C

2

 取得最大值為

3

2

．…（7分）
由cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

6-2bc

2bc

=

1

2

，…（9分） 
可得bc=2．…（10分）
∵b+c=3，
解得

b=1 c=2

，或

b=2 c=1

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)、根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．