Question

（文科做）已知曲線f（x）=x³+bx²+cx+d經過原點（0，0），且直線y=0與y=-x均與曲線c：y=f（x）相切．
（1）求f（x）的解析式；         
（2）在b∈R⁺時，求函數y=f（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得出d=0，y=x³+bx²+cx．設y=-x與y=x³+bx²+cx切于點（x，y），則有如下三個關系：①點（x，y）在y=-x上，②點（x，y）在y=x³+bx²+cx上 ③f′（x）=-1
以x0為橋梁得出b，c關系或數值．同樣地再通過y=-x均與曲線c：y=f（x）相切．最后確定b，c的值，得出解析式．
 （2）利用函數導數與單調性的關系，求出的單調區間，再求極值．
解答：解：（1）若y=x³+bx²+cx+d過點（0，0），則d=0，∴y=x³+bx²+cx．
設y=-x與y=x³+bx²+cx切于點（x，y），則即，
若x=0時，則c+1=0；
若x≠0時，則則2x²+bx=0，∵x≠0，，則有，將代入x²+bx+c+1=0中得到：．
故c=-1或．
設y=0與y=x³+bx²+cx切于點（x₁，y₁），則，即，
若x₁=0時，有c=0；
若x₁≠0時，則則2x₁²+bx₁=0，∴代3x₁²+2bx₁+c=0中得到
故c=0或．
在c=-1時，不可能成立，舍c=-1．
在c=0時，，則b=±2，故所是解析式為y=x³±2x²．
（2）在b＞0時，y=x³+2x²，y′=3x²+4x=x（3x+4）
由y′＞0得    f（x）的單增區間是（-∞，），（0，+∞）
由y′=0 得x=-或x=0
由y′＜0得 ，f（x）的單減區間是（，0）
 在時取極大值．，x=0時取得極小值 f（0）=0
點評：本題考查導數的幾何意義，函數導數與單調性的關系，函數極值求解，是常規題．