Question

（文科做）已知曲線f（x）=x³+bx²+cx+d經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0），且直線y=0與y=-x均與曲線c：y=f（x）相切．
（1）求f（x）的解析式；　　　　
（2）在b∈R⁺時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值．

Answer 1

解：（1）若y=x³+bx²+cx+d過(guò)點(diǎn)（0，0），則d=0，∴y=x³+bx²+cx．
設(shè)y=-x與y=x³+bx²+cx切于點(diǎn)（x₀，y₀），則即，
若x₀=0時(shí)，則c+1=0；
若x₀≠0時(shí)，則則2x₀²+bx₀=0，∵x₀≠0，，則有，將代入x₀²+bx₀+c+1=0中得到：．
故c=-1或．
設(shè)y=0與y=x³+bx²+cx切于點(diǎn)（x₁，y₁），則，即，
若x₁=0時(shí)，有c=0；
若x₁≠0時(shí)，則則2x₁²+bx₁=0，∴代3x₁²+2bx₁+c=0中得到
故c=0或．
在c=-1時(shí)，不可能成立，舍c=-1．
在c=0時(shí)，，則b=±2，故所是解析式為y=x³±2x²．
（2）在b＞0時(shí)，y=x³+2x²，y′=3x²+4x=x（3x+4）
由y′＞0得 f（x）的單增區(qū)間是（-∞，），（0，+∞）
由y′=0 得x=-或x=0
由y′＜0得 ，f（x）的單減區(qū)間是（，0）
在時(shí)取極大值．，x=0時(shí)取得極小值 f（0）=0
分析：（1）易得出d=0，y=x³+bx²+cx．設(shè)y=-x與y=x³+bx²+cx切于點(diǎn)（x₀，y₀），則有如下三個(gè)關(guān)系：①點(diǎn)（x₀，y₀）在y=-x上，②點(diǎn)（x₀，y₀）在y=x³+bx²+cx上 ③f′（x₀）=-1
以x0為橋梁得出b，c關(guān)系或數(shù)值．同樣地再通過(guò)y=-x均與曲線c：y=f（x）相切．最后確定b，c的值，得出解析式．
（2）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，再求極值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值求解，是常規(guī)題．