Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f(1)=0，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，則不等式x²f（x）＞0的解集是______．

Answer 1

由

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，即[

f(x)

x

]′＞0；
則

f(x)

x

在（0，+∞）為增函數，且當x=1時，有

f(1)

1

=f（1）=0；
故函數

f(x)

x

在（0，1）有

f(x)

x

＜0，又有x＞0，則此時f（x）＜0，
同理，函數

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，又有x＞0，則此時f（x）＞0，
故又由函數f（x）是定義在R上的奇函數
∴當x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0
當x∈（-1，0）時，f（x）＞0；
而x²f（x）＞0?f（x）＞0，
故不等式x²f（x）＞0的解集為：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）