Question

【題目】已知圓，直線.

（1）求證：對直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）是否存在實數，使得圓上有四個點到直線的距離為？若存在，求出的范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；或.

【解析】

（1）寫出圓的圓心為，半徑為，再根據點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離，結合題意判斷得出，即可證明：對，直線與圓總有兩個不同的交點；

（2）要使得圓上有四個點到直線的距離為，則要求圓心到直線的距離小于，解不等式即可求出的范圍.

解：（1）證明：圓的圓心為，半徑為，

所以圓心到直線的距離為：

，

由于，則，即，

則，

所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的交點.

（2）假設存在直線，使得圓上有四點到直線的距離為，

由于圓心，半徑為，

則圓心到直線的距離小于，

則圓心到直線的距離為：

，

化簡得，

解得：或.