Question

（2013•唐山二模）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線l：

x=m+tcosα y=tsinα

（t為參數）經過橢圓C：

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ為參數）的左焦點F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先可以分析到題目中的直線方程是參數方程的形式，需要化簡為一般方程，第I問即可求得．
（Ⅱ）直線與曲線交與交于A，B兩點，可以把直線與曲線聯立方程，用根與系數關系即可得到求解．

解答：解：（Ⅰ）將橢圓C的參數方程化為普通方程，得

x2

4

+

y2

3

=1．
a=2，b=

3

，c=1，則點F坐標為（-1，0）．
l是經過點（m，0）的直線，故m=-1．…（4分）
（Ⅱ）將l的參數方程代入橢圓C的普通方程，并整理，得
（3cos²α+4sin²α）t²-6tcosα-9=0．
設點A，B在直線參數方程中對應的參數分別為t₁，t₂，則
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=

9

3cos2α+4sin2α

=

9

3+sin2α

．
當sinα=0時，|FA|•|FB|取最大值3；
當sinα=±1時，|FA|•|FB|取最小值

9

4

．…（10分）

點評：此題主要考查直線參數方程化一般方程，及直線與曲線相交的問題，在此類問題中一般可用聯立方程式后用韋達定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．