Question

已知動點P的軌跡為曲線C，且動點P到兩個定點F₁（-1，0），F₂（1，0）的距離的等差中項為．
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過圓x²+y²+4y=0的圓心Q與曲線C交于M，N兩點，且為坐標原點），求直線l的方程；
（3）設點，點P為曲線C上任意一點，求的最小值，并求取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）據已知，
所求曲線C是橢圓，長軸，，c=1，
所以橢圓的方程為．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，
設l：y=kx-2，
y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，y₁y₂=k²x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4，
（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
聯立，得x²+2（kx-2）²=2，
x₁，x₂為上述方程的兩根，
∴
代入（*）得，
所求直線
（3）橢圓的右準線為x=2，設點P到右準線的距離為d，
則，，
此時的最小值為點A到右準線x=2的距離，，
此時點P的坐標為．
分析：（1）利用已知條件推斷出的值，進而求得橢圓方程中的長軸長，則a可求，利用定點坐標求得焦距，則b可求得，最后求得橢圓的方程．
（2）設出M，N的坐標，利用判斷出x₁x₂+y₁y₂=0設出直線l的方程代入橢圓的方程消去y，利用韋達定理表示出x₁x₂和x₁+x₂利用直線方程求得y₁y₂，代入x₁x₂+y₁y₂=0求得k，則直線l的方程可得．
（3）先利用橢圓的第二定義表示出到焦點與準線的距離求得點P到右準線的距離與的關系式，進而推斷出此時的最小值為點A到右準線x=2的距離，則點P的坐標和最小距離可求得．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，橢圓與直線的關系．考查了考生分析問題和解決問題的能力．