Question

在平面直角坐標系中，設二次函數f（x）=3x²-2x+c（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為A．
（1）求實數c的取值范圍；
（2）求圓A的方程；
（3）問圓A是否經過某定點（其坐標與c無關）？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x=0及y=0，△＞0即可得出；
（2）設出圓的一般方程與（1）比較即可得出；
（3）利用曲線系即可得出．
解答：解：（1）令x=0，得f（0）=c，∴拋物線與y軸的交點為（0，c）．
令f（x）=3x²-2x+c=0，由題意可得：c≠0且△=4-12c＞0，
解得c＜且c≠0．
（2）設圓A：x²+y²+Dx+Ey+F=0．
令y=0得：x²+Dx+F=0，與3x²-2x+c=0是同一個方程．
∴，．
令x=0得y²+Ey+F=0，此方程有一個解c．∴，得E=-c-．
∴圓A的方程為：．
（3）由化為．
令，解得，x=0或．
∴圓必過定點或．
點評：熟練掌握圓的一般方程與曲線系等是解題的關鍵．