Question

（2012•河西區一模）某大學對在校的學生進行素質拓展測試．在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數多于男生人數），如果從中隨機選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為

8

15

．
（Ⅰ）求該小組中女生的人數；
（Ⅱ）若從中隨機選3人參加測試，求所選的三人恰為兩名男生一名女生的概率；
（Ⅲ）假設此項測試對該小組的學生而言，每個女生通過的概率均為

3

4

，每個男生通過的概率均為

2

3

；現對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試，記這3人中通過測試的人數為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）設出該小組中有n個女生，根據古典概型的概率公式得到比值，等于恰為一男一女的概率，解出關于n的方程．
（Ⅱ）根據古典概型的概率公式得到恰為兩名男生一名女生的概率P=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

．
（Ⅲ）由題意知ξ的取值為0，1，2，3，集合變量對應的事件，和獨立重復試驗的概率公式，得到變量對應的概率，寫出分布列，求出期望值．

解答：解：（Ⅰ）設該小組中有n個女生，
由題意，得

C 1 n C 1 10-n

C 2 10

=

8

15

，…（2分）
解得n=6或n=4（舍），
所以該小組有6名女生．…（4分）
（Ⅱ）恰為兩名男生一名女生的概率P=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

…（7分）
（Ⅲ）由題意，ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

3

×

1

3

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

1

4

+(

1

3

)2×

3

4

=

7

36

，
P（ξ=2）=×

2

3

×

1

3

×

3

4

+(

1

3

)2×

1

4

=

16

36

，
P（ξ=3）=(

2

3

)2×

3

4

=

12

36

．…（11分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 36	7 36	16 36	12 36

所以Eξ=0×

1

36

+1×

7

36

+2×

16

36

+3×

12

36

=

25

12

．…（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查獨立重復試驗的概率公式，考查利用概率與統計的知識解決實際問題．