Question

橢圓ax²＋by²＝1與直線x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中點，若|AB|＝，OC的斜率為，求橢圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差，得 　　a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0，而＝－1， 　　，代入上式可得b＝a，再由|AB|＝， 　　即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝8， 　　∵x1＋y1－1＝0，x2＋y2－1＝0， 　　∴x1－x2＝y2－y1．∴(x1－x2)2＝4， 　　即(x1＋x2)2－4x1x2＝4． 　　而x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的兩根，由韋達定理可得＝4． 　　又∵b＝a，∴解得a＝， 　　故所求橢圓方程是x2＋y2＝3．

提示：

對題目中某些條件的等價轉化是解好有關數學題的重要手段．以AB為直徑的圓過坐標原點，可利用圓的幾何性質轉化為與坐標有關的條件x1x2＋y1y2＝0，進而聯想到韋達定理的應用．故構造方程求解．解析幾何問題中有些是設而不求，如設點代入，作差變形，借助斜率、中點坐標公式等手段解題也是此類問題的常用技巧．