Question

如右圖，已知ABCD為正方形，AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，AD=DF=2AE=2．
（1）求證：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求點A到平面BEF的距離；
（3）求平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：對于（1），要證明平面BEF⊥平面BDF，只需在平面平面BEF內找一條直線垂直于平面平BDF即可，
而AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，故連接AC交BD于O，取BF的中點G，連EG，只證EG垂直于平面BDF，
而AO垂直于平面BDF，只證EG∥AO即可；
對于（2），由EG∥AO，AO∥平面BEF，O到平面BEF的距離就是A到平面BEF的距離，由面面垂直的性質定理，
只需過O向BF作垂線，利用相似三角形求出此垂線段的長度即可；
對于（3），由（1）、（2）知：平面ABD為平面BEF的射影，由射影定理容易求二面角的余弦值，從而可求．

解答：解：（1）連AC交BD于O，取BF的中點G，連EG
∵OG

∥ .

.

1

2

DF，AE

∥ .

.

1

2

DF∴OG

∥ .

.

AE
∴四邊形AOGE是平行四邊形∴AO

∥ .

.

EG
∵DF⊥平面ABCD
∴DF⊥AO又AO⊥BD
∴AO⊥平面BDF
∴EG⊥平面BDF
∵EG?平面BEF
∴平面BEF⊥平面BDF

（2）由（1）知AO∥EG
∴AO∥平面BEF
∴O到平面BEF的距離就是A到平面BEF的距離
過O作OH⊥BF于H
∵平面BEF⊥平面BDF∴OH⊥平面BEF
∵△BOH\～△BFD∴

OH

DF

=

OB

BF

∴OH=

6

3

即點A到平面BEF的距離為

6

3

．

（3）設平面BEF與平面BCD所成的角為θ
∵cosθ=

S△ABD

S△BEF

=

6

3

∴平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為：arccos

6

3

點評：本題考查面面垂直的判定，點到面的距離，以及二面角的求法，要注意將面面垂直轉化為線面垂直，點到平面距離問題中的點的轉化，二面角平面角求法中的射影定理的應用．