Question

如圖為一幾何體的平面展開圖：
（1）沿圖中虛線將它折疊成原幾何體SABCD（使S₁、S₂、S₃、S₄重合于S），請畫出其直觀圖；
（2）P、Q 分別是線段SD，AC上的動點，問DP，CQ滿足什么條件時PQ∥平面SAB，并證明你的結論．
（3）求該幾何體內切球的表面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中的展開圖可得該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，棱錐的高為3，且頂點S在A的正上方，進而可得其直觀圖；
（2）當

DP

SD

=

CQ

AC

，即CQ=

4

5

2

DP時，PQ∥平面SAB，由平行線分線段成比例定理及線面平行的判定定理，可證結論；
（3）由（1）中分析可求出幾何體的表面積及體積，進而根據V_S-ABCD=

1

3

S表r，求出內切球半徑r，代入球的表面積公式，可得答案．

解答：解：（1）作出直觀圖…4’

（2）當

DP

SD

=

CQ

AC

，即CQ=

4

5

2

DP時，PQ∥平面SAB…6’
證明：作PM∥AD，QR∥AD分別交SA、AB于M、R，連結MR，
則由平行線分線段成比例定理的逆定理可得PM∥QR
∵

DP

SD

=

CQ

AC

∴

PM

AD

=

SP

SD

=

AQ

AC

=

QR

BC

∴PM=QR
∴PMRQ為平行四邊形
PQ∥MR
∴PQ∥平面SAB…11’
（3）設內切球半徑為r，
由已知中的展開圖可知：
S_表=48
V_S-ABCD=16
由V_S-ABCD=

1

3

S表r，
可求得r=1，
∴該幾何體內切球的表面積S=4πr²=4πcm²…16’

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，空間幾何體的直觀圖，球的體積與表面積，根據展開圖分析出幾何體的形狀是解答的關鍵．