Question

向量m＝(sin ωx＋cos ωx，cos ωx)(ω>0)，n＝(cos ωx－sin ωx,2sin ωx)，函數f(x)＝m·n＋t，若f(x)圖象上相鄰兩個對稱軸間的距離為，且當x∈[0，π]時，函數f(x )的最小值為0.

(1)求函數f(x)的表達式；

(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin²B＝cos B＋cos(A－C)，求sin A的值．

Answer 1

解：(1)f(x)＝m·m＋t＝cos²ωx－sin²ωx＋2cos ωx·sin ωx＋t＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋

t＝2sin(2ωx＋)＋t.依題意f(x)的周期T＝3π，且ω>0，∴T＝＝＝3π.

∴ω＝，∴f(x)＝2sin＋t.∵x∈[0，π]，∴≤＋≤，∴≤sin≤1，

∴f(x)的最小值為t＋1，即t＋1＝0，∴t＝－1.∴f(x)＝2sin－1.

(2)∵f(C)＝2sin－1＝1，∴sin＝1.

又∵∠C∈(0，π)，∴∠C＝.在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin²B＝cos B＋cos(A－C)，

∴2cos²A＝sin A＋sin A，sin²A＋sin A－1＝0.

解得sin A＝.又∵0<sin A<1，∴sin A＝.