Question

已知有兩個數列{a_n}，{b_n}，它們的前n項和分別記為S_n，T_n，且數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，S_m=26，前m項中數值最大的項的值為18，S_2m=728，又Tn=2n2
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（II）若數列{c_n}滿足c_n=b_na_n，求數列{c_n}的前n項和P_n．

Answer 1

（本小題滿分14分）
（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，∵a_n＞0，∴q＞0
若q=1時  S_m=ma₁S_2m=2ma₁，此時2S_m=S_2m，而已知  S_m=26，S_2m=728，∴2S_m≠S_2m，∴q=1不成立…（1分）
若q≠1，由

Sm=26 Sm=728

得 

a1(1-qm) 1-q =26(1) a1(1-q2m) 1-q =728(2)

…（2分）
（1）÷（2）得：1+q^m=28∴q^m=27…（3分）
∵q^m=27＞1∴q＞1   
∴前m項中a_m最大∴a_m=18…（4分）
由 a1qm-1=18得，

a1qm-1

qm

=

18

27

∴

a1

q

=

2

3

(3)    即a1=

2

3

q
把a1=

2

3

q及q^m=27代入（1）式得   

2 3 q(1-27)

1-q

=26
解得q=3  
 把q=3代入a1=

2

3

q得a₁=2，所以 an=2×3n-1…（7分）
由Tn=2n2
（1）當n=1時 b₁=T₁=2
（2）當 n≥2時 bn=Tn-Tn-1=2n2-2(n-1)2=2n2-2(n2-2n+1)=4n-2
∵b₁=2適合上式∴b_n=4n-2…（9分）
（Ⅱ）由（1）得  cn=(4n-2)•2×3n-1=4(2n-1)×3n-1
記dn=(2n-1)×3n-1，d_n的前n項和為Q_n，顯然P_n=4Q_nQn=d1+d2+d3+…+dn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1…①∴3Qn=d1+d2+d3+…+dn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n…..②
…（11分）
①-②得：-2Q_n=1+2×3¹+2×3²+2×3³+…2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
=1+2×

3(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n=-2-（2n-2）×3ⁿ…（13分）
∴4Qn=4(n-1)×3n+4，
即Pn=4(n-1)×3n+4…（14分）