Question

已知有兩個數列{a_n}，{b_n}，它們的前n項和分別記為S_n，T_n，且數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，S_m=26，前m項中數值最大的項的值為18，S_2m=728，又
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（II）若數列{c_n}滿足c_n=b_na_n，求數列{c_n}的前n項和P_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）數列{a_n}，建立數列{a_n}中關于首項a_{1 ^和公比}q的方程組，解方程組得數列{a_n}的通項公式（但不要忘記對公比為q是否等于1的討論），利用求出數列{b_n}的通項公式；
（2）可直接利用錯位相減法求數列{c_n}的前n項和P_n
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，∵a_n＞0，∴q＞0
若q=1時  S_m=ma₁S_2m=2ma₁，此時2S_m=S_2m，而已知  S_m=26，S_2m=728，∴2S_m≠S_2m，∴q=1不成立…（1分）
若q≠1，由得 …（2分）
（1）÷（2）得：1+q^m=28∴q^m=27…（3分）
∵q^m=27＞1∴q＞1   
∴前m項中a_m最大∴a_m=18…（4分）
由 得，∴    即
把及q^m=27代入（1）式得   
解得q=3  
 把q=3代入得a₁=2，所以 …（7分）
由
（1）當n=1時 b₁=T₁=2
（2）當 n≥2時 =4n-2
∵b₁=2適合上式∴b_n=4n-2…（9分）
（Ⅱ）由（1）得 
記，d_n的前n項和為Q_n，顯然P_n=4Q_n…①∴…..②
…（11分）
①-②得：-2Q_n=1+2×3¹+2×3²+2×3³+…2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
==-2-（2n-2）×3ⁿ…（13分）
∴，
即…（14分）
點評：本題是一道很好的數列綜合題，是歷年高考中�？嫉囊活悢盗蓄}．對解題方法的熟練應用要求較高．