Question

9．已知關于x的二次函數f（x）=x²-2sinθx+$\frac{1}{4}$，（θ∈R）．
（1）若θ=$\frac{π}{6}$，求函數f（x）在x∈[-1，1]上的值域；
（2）若函數f（x）在區間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是單調函數，求θ的取值集合；
（3）若對任意x₁，x₂，∈[2，3]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤2sinθt²+8t+5對任意θ∈R恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡二次函數f（x），利用配方法求解二次函數的值域即可．
（2）化簡二次函數f（x）=（x-sinθ）²+$\frac{1}{4}$-sin²θ，通過函數的單調性，推出函數單調減時sinθ≥$\frac{1}{2}$，單調增時sinθ≤-$\frac{1}{2}$，求解即可．
（3）判斷函數在[2，3]上單調遞增，求出最值，得到|f（x₁）-f（x₂）|的最值，推出不等式求解t即可．

解答 解：（1）二次函數f（x）=x²-2sinθx+$\frac{1}{4}$，θ=$\frac{π}{6}$，
可得：f（x）=x²-x+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²∈[0，$\frac{9}{4}$]．
函數的值域為：[0，$\frac{9}{4}$]．
（2）由題意二次函數f（x）=x²-2sinθx+$\frac{1}{4}$=（x-sinθ）²+$\frac{1}{4}$-sin²θ，
函數f（x）在區間[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是單調函數，
∴函數單調減時sinθ≥$\frac{1}{2}$，單調增時sinθ≤-$\frac{1}{2}$，$所以θ的取值集合為[{\frac{π}{6}+2kπ，\left.{\frac{5π}{6}+2kπ}]}\right.或[{\frac{7π}{6}+2kπ，\left.{\frac{11π}{6}+2kπ}]}\right.（k∈{Z}）$．
（3）因為對稱軸x=sinθ≤1，所以函數在[2，3]上單調遞增，
從而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min
=f（3）-f（2）．
=5-2sinθ≤2sinθt²+8t+5，所以（1+t²）sinθ+4t≥0，對任意θ∈R恒成立，
即$\frac{-4t}{{1+{t^2}}}≤sinθ，\frac{-4t}{{1+{t^2}}}≤{（sinθ）_{min}}=-1$，
所以t²-4t+1≤0，則t的取值范圍：$[{\frac{{2-\sqrt{3}}}{2}}\right.，\left.{\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}}]$．

點評 本題考查二次函數的最值，函數恒成立，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．