Question

18．已知函數f（x）對一切實數x，y都滿足f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，f（x）+3＜2x+a恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=1，y=0帶入計算即可．
（2）令y=0，帶入化簡即可得到f（x）的解析式；
（3）采用參數分離，利用函數單調性求解．

解答 解：由題意：函數f（x）對一切實數x，y都滿足f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x，且f（1）=0
（1）利用賦值法，令x=1，y=0，帶入f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x．
可得：f（1）=f（0）+（1+2×0+1）×1．
∴f（0）=-2
（2）令y=0，帶入f（x+y）=f（y）+（x+2y+1）x．
整理可得：f（x）=f（0）+（x+1）x
=x²+x-2
所以f（x）的解析式為：f（x）=x²+x-2．
（3）當x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，f（x）+3＜2x+a恒成立，等價于：（x²-x+1）_max＜a恒成立，
令g（x）=x²-x+1，
開口向上，對稱軸x=$\frac{1}{2}$，
當x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，g（x）是單調減函數．
∴x=0時g（x）取得最大值，即g（0）_max=1．
∴a＞1．
所以a的范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查了抽象函數的解析式求法和利用單調性解決恒成立的問題．利用了賦值法．屬于中檔題．