Question

動圓經過定點，且與直線相切。

（1）求圓心的軌跡方程；

（2）直線過定點與曲線交于、兩點：

①若，求直線的方程；

②若點始終在以為直徑的圓內，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2），。

【解析】

試題分析：（1）由題意：到點距離與到直線距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為

（2）①設直線：，代入拋物線方程得：

設 則　　　　　　　　　

　由得，

代入解得： 即所求直線方程為。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

②，由題意：　　　　　　　　　　

即，，化簡得：

對于任意的恒成立。　　

滿足，則且，解得。綜上知，的取值范圍為。

考點：軌跡方程的求法；點到直線的距離公式；拋物線的簡單性質；直線與拋物線的綜合應用。

點評：（1）求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關點法、參數法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關鍵是條件的轉化——轉化成某一已知曲線的定義條件。（2）直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．