Question

已知動圓過定點，且與直線 相切．

（1）求動圓的圓心M的軌跡C的方程；

（2）拋物線C上一點，是否存在直線與軌跡C相交于兩不同的點B，C，使 的垂心為？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以動圓的圓心M的軌跡C的方程為；                 4分

（Ⅱ）由已知得，直線的斜率為，由直線的斜率為1，

設直線的方程是，由，消去得，

由韋達定理得，由，得

由，得，

即，

所以，

即，得，

解得或，當時，直線的方程是，過點，不合，

所以存在這樣的直線，其方程是．                  10分

考點：拋物線定義及拋物線與直線相交的位置關系

點評：拋物線定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，依據圓錐曲線定義求解動點的軌跡方程是常用的求軌跡方程的方法，當已知中有直線與圓錐曲線相交時，常聯立方程，利用韋達定理化簡條件求結論