Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB和BC的中點，EF與BD相交于點H，M為BB₁中點．
①求二面角B₁-EF-B的大小；
②求證：D₁M⊥平面B₁EF；
③求點D₁到平面B₁EF的距離．

Answer 1

分析：①連接B₁H，由等腰三角形“三線合一”的性質可得EF⊥BH，由正方體的幾何特征，可得B₁H⊥EF，則∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，解三角形B₁HB，即可得到二面角B₁-EF-B的大小．
②由BD⊥EF，D₁M在平面ABCD的射影為BD，由三垂線定理可得D₁M⊥EF，連接A₁M，易證得D₁M⊥B₁E，由線面垂直的判定定理，可得D₁M⊥平面B₁EF；
③由②中結論可得D₁N⊥平面B₁EF，則D₁N的長即為D₁到平面B₁EF的距離，連接B₁D₁，解Rt△B₁D₁M即可得到D₁N的長，進而得到點D₁到平面B₁EF的距離．

解答：解：①連接B₁H，∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF⊥BH
又BB₁⊥平面ABCD，∴BH是B₁H在平面ABCD的射影，∴B₁H⊥EF
∴∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角--------------------------------------------2′
顯然tan∠B₁HB=

B1B

BH

=

B1B

1 4 BD

=

B1B

1 4 × 2 B1B

=2

2

-----------------------------4′
∴∠B₁HB=arctan2

2

即二面角B₁-EF-B的大小為arctan2

2

-------------------------------------------5′
②∵D₁M在平面ABCD的射影為BD又BD⊥EF，∴D₁M⊥EF--------------------7′
連接A₁M，D₁M在平面A₁ABB₁的射影為A₁M
由△A₁M B₁≌△B₁BE知A₁M⊥B₁E
∴D₁M⊥B₁E----------------------------------------------------------------------------------9′
又B₁E∩EF=E，∴D₁M⊥平面B₁EF---------------------------------------------------10′
（若用向量法證，相應給分）
③設B₁H∩D₁M于N，由②知D₁N⊥平面B₁EF
∴D₁N的長即為D₁到平面B₁EF的距離
連接B₁D₁，則在Rt△B₁D₁M中
D₁N=

D1B12

D1M

=

2a2

2a2+ a2 4

=

4

3

a-----------------------------------------------------14′

點評：本題考查的知識點二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，點到平面之間的距離，其中①的關鍵是證得∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，②的關鍵是證得D₁M⊥EF且D₁M⊥B₁E，③是證得D₁N的長即為D₁到平面B₁EF的距離．