Question

已知α∈R，f（x）=（x²-2）（x-a）．
（Ⅰ）求f（x）的導函數f′（x）；
（Ⅱ）若f′（1）=0．求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若|a|＜，求證：當x∈（-∞，-2）和x∈（-2，∞）時，f（x）都是單調增函數．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²-2x+2a
∴f'（x）=3x²-2ax-2
（Ⅱ），則f（x）=（x²-2）（），f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
令f′（x）=0解得x=1或x=
當x在區間[-1，2]上變化時，y′，y的變化情況如下表：

又
∴f（x）在區間[-1，2]的最大值為f（2）=3，最小值為．
（Ⅲ）證明：∵，
又，
∴當x∈（-∞，-2）和（2，+∞）時，f'（x）＞f'（2）或f'（x）＞f'（-2）．
∵
∴f（x）在x∈（-∞，-2）和（2，+∞）上都是增函數．
分析：（Ⅰ）要求f（x）的導函數f′（x）方法用求導法則直接求出即可；
（Ⅱ）由f′（1）=0確定出a的值，令導函數f′（x）=0求出穩定點，在[-1，2]區間內討論增減性確定最值即可； （Ⅲ）f′（x）與零的大小決定此函數的增減性，所以主要是判斷f′（x）是否大于或小于零得到即可．
點評：本題考查利用導數求閉區間上的最值方法，函數單調性的判斷即證明，導數的計算．