Question

已知F是拋物線y²=4x的焦點，A，B是拋物線上兩點，△AFB是正三角形，則該正三角形的邊長為

8±4

3

．

Answer 1

分析：根據題意和拋物線以及正三角形的對稱性，可推斷出兩個邊的斜率，進而表示出這兩條直線，與拋物線聯立，求交點的坐標，從而得解．

解答：解：y²=4x的焦點F（1，0）
等邊三角形的一個頂點位于拋物線y²=4x的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，
則等邊三角形關于x軸對稱，兩個邊的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程為：y=±

3

3

（x-1），
與拋物線y²=4x聯立，可得

1

3

（x-1）²=4x
∴x=7±4

3

，
當x=7+4

3

時，y=±2（2+

3

），∴等邊三角形的邊長為8+4

3

；
當x=7-4

3

時，y=±2（2-

3

），∴等邊三角形的邊長為8-4

3

；
故答案為：8±4

3

；

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線與正三角形的對稱性，考查學生的計算能力，屬于基礎題．