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設點M（x，y）到直線x＝4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C．

　 （Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點E，F，且∠EOF＝90°（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的值；

　 （Ⅲ）設A（2，0），B（0，）是曲線C的兩個頂點，直線y＝mx（m>0）與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值。

解:(Ⅰ)設曲線上的任意一點

則有化簡得: …………………………4分

(Ⅱ)設直線的方程為,與橢圓的交點

或

,……………………………………6分

因為與橢圓交于不同的兩點且=90得

,

 

解得:(滿足或)……………………………………8分

(Ⅲ) 解方程組得;

即,

………………………10分

因為所以(當且僅當時取等號)

即的最大面積為(當時取等號) …………………………12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）設過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點E，F，且∠EOF=90°（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的值；
（III）設A（2，0），B（0，
3
）是曲線C的兩個頂點，直線y=mx（x＞0）與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•許昌一模）設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（2，0）的距離之比為
2
，并記點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點（2，0）作直線l與曲線C相交于A、B兩點，問C上是否存在點P，使得
OP
=
OA
+
OB
成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•濟寧二模）設點P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點（1，0）的距離之比為
2
，并記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設M（-2，0）的，過點M的直線l與曲線C相交于E，F兩點，當線段EF的中點落在由四點C1（-1，0），C2（1，0），B1（0，-1），B2（0，1）構成的四邊形內（不包括邊界）時，求直線l斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011年河南省新鄉、許昌、平頂山高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（2，0）的距離之比為，并記點M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點（2，0）作直線l與曲線C相交于A、B兩點，問C上是否存在點P，使得=+成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年河南省普通高中高考適應性測試數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設點M（x，y）到直線x=4的距離與它到定點（1，0）的距離之比為2，并記點M的軌跡曲線為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）設過定點（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點E，F，且∠EOF=90°（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的值；
（III）設A（2，0），B（0，）是曲線C的兩個頂點，直線y=mx（x＞0）與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點，求四邊形AEBF面積的最大值．

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