Question

（2013•濟寧二模）設點P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點（1，0）的距離之比為

2

，并記點P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設M（-2，0）的，過點M的直線l與曲線C相交于E，F兩點，當線段EF的中點落在由四點C₁（-1，0），C₂（1，0），B₁（0，-1），B₂（0，1）構成的四邊形內（不包括邊界）時，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用點P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點（1，0）的距離之比為

2

，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（Ⅱ）設出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理求出G的坐標，判斷出G在正方形內，即可求得直線l斜率的取值范圍．

解答：解：（I）∵點P（x，y）到直線x=2的距離與它到定點（1，0）的距離之比為

2

，
∴

|x-2|

(x-1)2+y2

=

2

∴

x2

2

+y2=1
∴曲線C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+2），設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），線段EF的中點G（x₀，y₀），
直線方程代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0
由△＞0，可得-

2

2

＜k＜

2

2

∵x₁+x₂=

-8k2

1+2k2

，∴x₀=

-4k2

1+2k2

，y₀=

2k

1+2k2

∵x₀=

-4k2

1+2k2

≤0，∴點G不可能在y軸的右邊
∵直線C₁B₂，C₁B₁的方程為y=x+1，y=-x-1
∴點G在正方形內的充要條件為

y0＜x0+1 y0＞-x0-1

，即

2k2+2k-1＜0 2k2-2k-1＜0

∴-

3 -1

2

＜k＜

3 -1

2

．
綜上可知，-

3 -1

2

＜k＜

3 -1

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．