Question

在△ABC中，已知角A，B所對的邊分別為a，b，且a=25，b=39，cosA=

12

13

．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求cos(2B-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在三角形ABC中，A∈（0，π），根據同角三角函數基本關系求出sinA，然后利用正弦定理求出sinB即可；
（Ⅱ）因為cosA小于0得到A為鈍角，B為銳角，根據同角三角函數的基本關系求出cosB，然后利用兩角差的余弦函數公式化簡cos（2B-

π

4

）再利用特殊角的三角函數值求出即可．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，sinA=

1-cos2A

=

1-(- 12 13 )2

=

5

13

（3分）
由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

．所以sinB=

b

a

sinA=

39

25

×

5

13

=

3

5

（7分）

（Ⅱ）因為cosA＞0，所以角A為銳角，從而角B為銳角或鈍角，
于是cosB=

1-sin2B

=

4

5

或-

4

5

（9分）
所以cos2B=2cos2B-1=

7

25

，sin2B=2sinBcosB=

24

25

或-

24

25

（11分）
∴cos（2B-

π

4

）=

2

2

（cos2B+sin2B）=

16 2

25

或-

17 2

25

（14分）

點評：考查學生會利用正弦定理化簡求值，靈活運用同角三角函數基本關系的能力，以及會利用兩角和與差的余弦函數化簡求值．