Question

20、（Ⅰ）求y=4^x-2^x+1的值域；
（Ⅱ）關于x的方程4^x-2^x+1+a=0有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求y=4^x-2^x+1的值域，設t=2^x，轉化為關于t二次函數的值域問題求解即可，必須注意新變量t的取值范圍．
（Ⅱ）欲求實數a的取值范圍，先分離出參數a，根據4^x-2^x+1的最小值不大于-a即可，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）設t=2^x則t＞0
∴y=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=t²-2t=（t-1）²-1
∵t＞0，∴y∈[-1，+∞]
∴函數的值域為[-1，+∞]（8分）
（Ⅱ）方程4^x-2^x+1+a=0即4^x-2^x+1=-a
若此方程有解，只需-a≥-1即a≤1．（12分）

點評：本題以指數函數為載體考查二次函數的值域，屬于求二次函數的最值問題，屬于基本題．