Question

設不等式組所表示的平面區域為D_n，記D_n內的格點(格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點)個數為f(n)(n∈N^*)．

(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表達式；

(2)記，若對于一切正整數n，總有T_n≤m成立，求實數m的取值范圍；

(3)設S_n為數列{b_n}的前n項和，其中b_n＝2^f(n)，問是否存在正整數n，t，使成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意，作圖易得f(1)＝3，f(2)＝6． 　　一般地，由，，得． 　　又(n∈N*)，∴． 　　∴Dn內的整點在直線x＝1和x＝2上． 　　記直線為l，l與直線x＝1和x＝2的交點的縱坐標分別為y1，y2， 　　則y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n． 　　∴f(n)＝3n(n∈N*)． 　　(2)由(1)，得， 　　∴． 　　∴當n≥3時，，且． 　　于是T2，T3是Tn的最大項，故m≥． 　　(3)假設存在正整數n，t使得上面的不等式成立， 　　由(Ⅰ)，有bn＝8n，∴． 　　不等式，即， 　　解得． 　　∴n＝t＝1． 　　即存在正整數n＝1，t＝1，使成立．