Question

【題目】已知離心率為的橢圓C：（a>b>0）的左焦點(diǎn)為，過作長軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值.

Answer 1

【答案】（I） （II）.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得關(guān)于a，b，c 的方程組，求解可得a，b的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（t，2），B（x0，y0），①當(dāng)t＝0時(shí)，直接求得|AB|；

②當(dāng)t≠0時(shí)，，，則lOB：y，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求得A，B的坐標(biāo)，可得|AB|2，再由基本不等式求解．

（Ⅰ）由題意，，解得．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（t，2），B（x0，y0），

①當(dāng)t＝0時(shí)，A（0，2），B（2，0），此時(shí)|AB|；

②當(dāng)t≠0時(shí)，．

∵OA⊥OB，∴，則lOB：y．

聯(lián)立，消去y可得．

∴，．

∴

．

當(dāng)且僅當(dāng)，即t＝0時(shí)取“＝”．

∵t≠0，∴|AB|．

綜上所述，|AB|．

綜上：線段AB長度的最小值為．