Question

如圖所示，將一塊直角三角形板ABO置于平面直角坐標系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P是三角板內一點，現因三角板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN．問：
（1）求直線MN的方程
（2）求點M，N的坐標
（3）應如何確定直線MN的斜率，可使鋸成的△AMN的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意得直線MN過點P且其斜率存在，由直線的點斜式方程可寫出答案；
（2）根據題意，M為OA與MN的交點，N為AB與MN的交點，易得OA、OB的方程，由（1）中所得的MN的方程，結合兩直線交點的求法，聯立直線的方程，易得M、N的坐標；
（3）先根據三角形面積公式寫出S_△AMN關于k的關系式，設t=1-k，則，轉化為求f（t）的最大值問題，用作差法判斷出f（t）在是增函數，即t=時，f（t）取得最大值，將t=代入f（t）中，可得答案．
解答：解：（1）依題意得直線MN過點P且其斜率存在，則MN方程為：．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直線OA方程為：y=x 直線AB方程為：x=1，
由，可得，
且，可得k≥1或k≤，
又由得且，
可得k≤，
∴；
故，
（3）S_△AMN==．
設，．
當時，f（t₁）-f（t₂）==．
∵，∴t₁t₂＞0，t₁-t₂＜0，4t₁t₂-1＞0，
∴f（t₁）-f（t₂）＜0，即f（t₁）＜f（t₂）．
∴f（t）在是增函數，
∴當時，，即當1-k=時即k=時，
S_△max=．
點評：本題考查直線方程的運用，解（3）題時，注意先轉化問題，結合函數的性質，通過求函數的最大值的方法，求出答案．