Question

已知函數f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）當a=1時，解不等式f（x）＞0；
（2）當a=

1

2

，x∈[0，2]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數的解析式，將2^x看作一個整體，根據二次不等式的解法，求出2^x的范圍，結合指數函數的圖象和性質，可得答案．
（2）將a=

1

2

代入，求出函數的解析式，利用換元法，將問題轉化為二次函數在定區(qū)間上的最值問題，求出函數最值后，得到函數的值域．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=2•4^x-2^x-1
∴f（x）＞0，即2•（2^x）²-2^x-1＞0
解得2^x＞1，或2^x＜-

1

2

（舍去）
∴x＞0
即不等式f（x）＞0的解集為（0，+∞）
（2）當a=

1

2

時，f（x）=4^x-2^x-1
設t=2^x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]
此時，y=t²-t-1，t∈[1，4]
∵y=t²-t-1的圖象是開口朝上，且以t=

1

2

為對稱軸的拋物線
∴y=t²-t-1在區(qū)間[1，4]上為增函數
∴當t=1時，函數取最小值-1，當t=4時，函數取最大值11，
故f（x）的值域為[-1，11]

點評：本題考查的知識點是指數不等式的解法，函數的值域，是指數函數，二次函數，不等式，函數值域的綜合應用，難度不大，整體思想和換元法是解答此類問題常用的思想和方法．