Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=，a_n+1=sin（a_n）（n∈N^*）．
證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

【答案】分析：先看當n=1時，可求得a₂，則可驗證結論成立；假設n=k時結論成立，根據(jù)0＜a_k＜a_k+1＜1，推斷出0＜a_k＜a_k+1＜．
進而可知0＜sin（a_k）＜sin（a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，結論成立，最后綜合可知原式成立．
解答：證明：①n=1時，a₁=，
a₂=sin（a₁）=sin=．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故結論成立．
②假設n=k時結論成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
則0＜a_k＜a_k+1＜．
∴0＜sin（a_k）＜sin（a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說n=k+1時，結論也成立．
由①②可知，對一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
點評：本題主要考查了數(shù)列的地推式和用數(shù)學歸納法證明不等式．