Question

設橢圓的一個頂點為（0，），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：為定值．

Answer 1

解：（1）橢圓的頂點為（0，），即b=，
e==，所以a=2，
∴橢圓的標準方程為+=1 …（4分）
（2）斜率不存在，l的方程為x=1，|MN|=3，|AB|=2，=4．
若直線斜率存在，則設直線l方程為y=k（x-1），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|=|x₁-x₂|==．
由 消去y，并整理得x²=，
|AB|=|x₃-x₄|=4 ，
∴=4為定值．
分析：（1）由橢圓的頂點為（0，）和e==，能求出橢圓的標準方程．
（2）分情況討論：斜率不存在，l的方程為x=1，|MN|=3，|AB|=2，=4．若直線斜率存在，則設直線l方程為y=k（x-1），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），|MN|=|x₁-x₂|=．|AB|=|x₃-x₄|，由此能證明=4為定值．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．