Question

（2012•海淀區二模）已知函數f（x）=

x+a

x2+3a2

（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=1時，若對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，分類討論，由導數的正負，即可求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=1時，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函數，是（1，+∞）上的減函數，對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，等價于f（x）_max-f（x）_min≤m求實數m的最小值．

解答：解：求導函數，可得f′(x)=

-(x-a)(x+3a)

(x2+3a2)2

．
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
（Ⅰ）當a＞0時，f′（x），f（x）隨著x的變化如下表

x	（-∞，-3a）	-3a	（-3a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

函數f（x）的單調遞增區間是（-3a，a），函數f（x）的單調遞減區間是（-∞，-3a），（a，+∞）．
當a＜0時，f′（x），f（x）隨著x的變化如下表

x	（-∞，a）	a	（a，-3a）	-3a	（-3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

函數f（x）的單調遞增區間是（a，-3a），函數f（x）的單調遞減區間是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（Ⅱ）當a=1時，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函數，是（1，+∞）上的減函數．
又當x＞1時，f(x)=

x+1

x2+3

＞0．
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值為f(-3)=-

1

6

，最大值為f(1)=

1

2

．
所以對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=

2

3

．
所以對任意x₁，x₂∈[-3，+∞），使f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立的實數m的最小值為

2

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．