Question

【題目】設函數，其中，．

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若函數僅在處有極值，求的取值范圍；

（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在，內是增函數，在，內是減函數；（2）；（3）．

【解析】

（1）代入，由導數，可求得單調區間。

（2）因為，即只有一個根x=0,且是奇次根，只需=0無實數根。

（3）只需，由條件可知，從而恒成立．所以。

（1）．

當時，．

令，解得，，．

當變化時，，的變化情況如下表：

所以在，內是增函數，在，內是減函數．

（2），顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須恒成立，即有．

解此不等式，得．這時，是唯一極值．因此滿足條件的的取值范圍是．

（3）由條件可知，從而恒成立．

當時，；當時，．

因此函數在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對任意的不等式在上恒成立，當且僅當，

即，在上恒成立，

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．