Question

7．如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＞OB＞OC，分別經過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁，S₂，S₃的大小關系為S₁＞S₂＞S₃．

Answer 1

分析 設OA=a，OB=b，OC=c．過點A，B，C分別作AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為D，E，F．由已知利用線面垂直的判定定理可得：OA⊥平面OBC，OA⊥BC，可得BC⊥OD．利用OD=$\frac{OB•OC}{BC}$，可得S₁=S_△OAD=$\frac{abc}{2\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$．同理可得：S₂=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，S₃=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．利用a＞b＞c即可得出大小關系．

解答 解：設OA=a，OB=b，OC=c．
過點A，B，C分別作AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為D，E，F．
連接OD，OE，OF，則△OAD，△OBE，△OCF分別為截面．
由已知可得：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，∴OA⊥平面OBC，
∴OA⊥BC，又AD∩OA=A，則BC⊥平面OAD，∴BC⊥OD．
∴OD=$\frac{OB•OC}{BC}$=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$，∴S₁=S_△OAD=$\frac{1}{2}a•\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{abc}{2\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$．
同理可得：S₂=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，S₃=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
∵a＞b＞c，∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$＞\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$$＞\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$．
∴S₁＞S₂＞S₃．
故答案為：S₁＞S₂＞S₃．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．