Question

設(shè)a、b是不相等的實(shí)數(shù)，試探求證明不等式(a⁴＋b⁴)(a²＋b²)＞(a³＋b³)²的方法．

Answer 1

答案：
解析：

　　探究思路：對(duì)于不等式的證明比較常見(jiàn)的方法是作差法，即求出不等式兩邊式子的差，再根據(jù)差與零的關(guān)系來(lái)達(dá)到證明不等式的目的．現(xiàn)在我們又學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，因此可以根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造向量利用向量知識(shí)來(lái)達(dá)到證明不等式的目的．

　　方法一：(a⁴＋b⁴)(a²＋b²)－(a³＋b³)²

　　＝a⁶＋b⁶＋a⁴b²＋a²b⁴－a⁶－b⁶－2a³b³

　　＝a⁴b²＋a²b⁴－2a³b³

　　＝a²b²(a²－ab)＋a²b²(b²－ab)

　　＝a²b²(a－b)²．

　　由于a、b是不相等的實(shí)數(shù)，則(a⁴＋b⁴)(a²＋b²)－(a³＋b³)²＝a²b²(a－b)²＞0，

　　即(a⁴＋b⁴)(a²＋b²)＞(a³＋b³)²．

　　方法二：設(shè)m＝(a²，b²)，n＝(a，b)，

　　則m·n＝a³＋b³，

　　又a、b是不相等的實(shí)數(shù)，則a²b－ab²≠0，

　　即向量m、n不共線(xiàn)，所以有|m·n|＜|m||n|，即(a⁴＋b⁴)(a²＋b²)＞(a³＋b³)²．